NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1

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Exercise- 1.1 वास्तविक संख्याएँ

प्रश्न (1) NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers

निम्नलिखित संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:-

(I) 135 और 225

(II) 196 और 38220

(III) 867 और 255

हल- Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers

(I) प्रश्नानुसार दी गई संख्याएं = 135 और 225

Step I. प्रश्नानुसार दी गई संख्याओं 225 और 135 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,

225 = (135 x 1) + 90   (∴ शेषफल 90 ≠ 0)

Step II. संख्याओं 135 और 90 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,

135 = (90 x 1) + 45  (∴ शेषफल 45 ≠ 0)

Step III. संख्याओं 90 और 45 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,

90 = (45 x 2) + 0  (∴ शेषफल = 0)

शेषफल शून्य है और भाजक = 45 हैं अतः महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 45 होगा।

 

(II) प्रश्नानुसार दी गई संख्याएँ = 196 और 38220

Step I. प्रश्नानुसार दी गई संख्याओं 196 व 38220 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,

38220 = (196 x 195) + 0  (∴ शेषफल = 0)

शेषफल शून्य है और भाजक = 196 हैं अत: महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 196 होगा।

 

(III) प्रश्नानुसार दी गई संख्याएँ = 867 और 255

Step I. प्रश्नानुसार दी गई संख्याओं 867 और 255 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,

867 = (255 x 3) + 102  (∴ शेषफल 102 ≠ 0)

Step II. संख्याओं 255 व 102 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से, 255 = (102 x 2) + 51  (∴ शेषफल 51 ≠ 0)

Step III. संख्याओं 102 व 51 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से, 102 = (51 x 2) + 0  (∴ शेषफल = 0)

शेषफल शून्य है और भाजक = 51 हैं अतः महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 51 होगा।

प्रश्न 2. Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ

दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5, के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।

हल- NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1

माना a एक विषम धन पूर्णांक है। जो 6 से बड़ा है और b एक धन पूर्णाक इस प्रकार है कि b = 6 है।

तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से,

a = bq + r

a = 6q + r  (∴ b = 6)

तब, r का मान 6 से कम होना चाहिए।

तब, r के सम्भव मान = 0,1,2,3,4,5

तब, a = 6q + 0

a = 6q + 1

a = 6q + 2

a = 6q + 3

a = 6q + 4

a = 6q + 5

∴ a एक विषम संख्या है; अत: a = 6q + 0, 6q + 2 और 6q + 4 नहीं हो सकते क्योंकि ये राशियाँ 2 से विभाज्य हैं।

तब, विषम संख्या a = 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 होगा।

अतः एक धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रुप का होगा।

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प्रश्न 3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सैना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?

हल- NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1

स्तम्भों (lines) की अधिकतम संख्या टुकड़ी के सैनिकों की संख्या 616 और बैंड के सदस्यों की संख्या 32 का महत्तम समापवर्तक होगी।

तब,

Step I. प्रश्नानुसार 616 और 32 के लिए यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से,

616 = (32 x 19) + 8  (∴ शेषफल 8 ≠ 0)

तब,

Step II. 32 और 8 के लिए यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से,

32 = (8 x 4) + 0  (∴ शेषफल = 0)

शेषफल शून्य है और भाजक 8 है। महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 8 हैं अतः सैना 8 स्तम्भों में मार्च कर सकती है।

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प्रश्न 4. NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि धनात्मक पूर्णाक का वर्ग किसी पूर्णाक m के लिए 3m या 3m + 1 के रुप का होता है।

हल- NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1

माना a तथा b ऐसे दो धन पूर्णांक है कि a > b और b = 3

तब, प्रश्नानुसार यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से,

a = 3b + r जबकि 0 ≤ r <  3

तब, के सम्भव मान = 0,1,2

तब, a = 3b + 0 

⇒ a = 3b + 1

⇒ a = 3b + 2

तब, a2 = (3b + 0)2

⇒ a2 = (3b + 1)2

⇒ a2 = (3b + 2)2

तब, a2 = (3b + 0)2 तो a2 = 9b2 = 3(3b2)

यदी a2 = (3b + 1)2 तो a2 = 9b2+ 6b +1

= 3(3b2 + 2b) +1

यदी a2 = (3b + 2)2 तो a2 = 9b2 + 12b + 4

= (9b2 + 12b + 3) + 1

= 3(3b2 + 4b + 1) + 1

a2 के सभी विस्तारों से स्पष्ट है कि a2, 3 से विभाजित होता है और शेषफल शून्य बचता है या 1 बचता है।

a2 = 3m + 0 ⇒ a2 = 3m +1

अतः किसी धन पूर्णाक का वर्ग किसी पूर्णाक m के लिए 3m या 3m + 1 के रुप का होता है। इति सिद्धम्

 

प्रश्न (5) NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रुप का होता है।

हल- NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1

माना a तथा b दो ऐसे धन पूर्णाक है कि a > b और b > 9

तब, प्रश्नानुसार यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका से, a = 9b + r

तब, r का मान 9 से कम होना चाहिए।

तब, r के सम्भव मान = 0,1,2,3,4,5,6,7,8

तब, a = 9b + 0 ⇒ a = 9b + 1 ⇒ a = 9b + 2

⇒ a = 9b + 3 ⇒ a = 9b + 4 ⇒ a = 9b + 5

⇒ a = 9b + 6 ⇒ a = 9b + 7 ⇒ a = 9b + 8

जब a = 9b + 0 हो तो

⇒ a3 = (3b + 0)3 = 27b3

⇒ a3 = 9(3b3) ………….. (1)

जब a = 9b + 1 हो तो a3 = (3b + 1)3

⇒ a3 = (3b)3 + 3.3b.1 (3b + 1) + (1)3

⇒ a3 = (27b3 + 27b2 + 9b) +1

⇒ a3 = 9[3b3 + 3b2 + b] +1  ………..(2)

जब a = 9b + 2 हो तो a3 = (3b + 2)3

⇒ a3 = (3b)3 + 3.3b.2 (3b + 2) + (2)3

⇒ a3 = [27b3 + 54b2 + 36b] + 8

⇒ a3 = [27b3 + 18b(3b +2)] + 8

⇒ a3 = 9[3b3 + 6b2 + 4b] + 8 ……….. (3)

तब, समीकरण (1), (2) व (3) को ध्यान से देखिए कि ये 9 से विभाज्य है।

तब, इन्हें क्रमश: a3 = 9m,

या a3 = 9m + 1,

या a3 = 9m + 8 लिखा जा सकता है।

अतः किसी धनपूर्णाक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।

इति सिद्धम्

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